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数学科学领域 数学科学领域

On the surjectivity of smooth maps into Euclidean spaces and the fundamental theorem of algebra

  • 刘轼波
  • 发布时间:2020-05-09 14:09:20
  • 浏览量:78

本文肇始于刘轼波给数学学院二年级本科生讲授"数学分析"的教学工作, 与本科生刘鹏合作完成(刘鹏证明了文中的引理).

众所周知, 解方程是数学的中心问题, 这问题与相应映射的满射性息息相关. 对于欧氏空间 R^n 到自身的光滑映射 f, 有个经典的结果说: 若 f 的 Jacobi 行列式处处非零, 并且强制, 即 |x| 趋于无穷时 |f(x)| 也趋于无穷, 则 f 是满射.

作为反函数定理的运用, 我们把上述经典结果推广为: 设 f : R^m--> R^n 是光滑映射, 除了有限个点之外, f 的 Jacobi 矩阵的秩为 n, 若 f 的值域是闭集, 则 f 是满射.

这个定理的要点是允许考虑不同维数的空间之间的映射, 允许 f 有一些退化的点. 此外, 值域为闭集(这是结论成立的必要条件)的假设也比上述经典定理的强制性要求弱.

作为这个定理的应用, 我们立刻得到著名的代数基本定理. 自数学王子 Gauss 给出第一个证明以来, 代数基本定理有无数的证明, 直到今天还不时有新的证明见诸期刊, 它是拥有最多证明的重要定理. 我们的工作是对代数基本定理的一个小贡献.

此外, 作为我们的定理的推论, 我们还得到有些令人吃惊的结果: 紧流形上的向量值函数一定有无穷多个临界点.

本文发表于号称拥有最多读者的著名期刊American Mathematical Monthly. 它已被中国科学院数学研究所主办的《数学译林》选中, 即将被翻译为中文在《数学译林》发表.

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