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数学科学领域 数学科学领域

Applications of mutations in the derived categories of weighted projective lines to Lie and quantum algebras

  • 邓邦明,肖杰,阮诗佺
  • 发布时间:2020-05-10 20:33:57
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Hall代数起源于20世纪早期 Steinitz对有限交换p-群的研究,它架起了代数表示论与李理论之间的一座桥梁。上世纪90年代,RingelDynkin箭图在有限域上的表示范畴定义了Hall李代数,证明了该李代数是一个复半单李代数的正部分的Chevalley整形式。进一步,彭联刚和肖杰2-周期的三角范畴构造了Hall李代数,从而实现了整个李代数。Hall代数不仅建立起了箭图表示与李代数之间的联系,它还揭示了代数表示论与李理论在量子化层次的联系。Ringel 证明了有限型箭图的表示范畴的Hall代数同构于复半单李代数的量子包络代数的正部分。Green通过定义Hall代数的余乘将这一结果推广到一般的有限维遗传代数,证明了Hall代数的合成子代数同构于Kac-Moody李代数的量子包络代数的正部分。进一步,肖杰利用Drinfeld double的思想实现了整个量子群。

Hall代数的工具也可以有效地应用于代数几何中。Kaparanov研究了光滑射影曲线上的凝聚层范畴的Hall代数。特别地,对于射影直线的情形,他证明了Hall代数的合成子代数同构于一类量子群的正部分。 Schiffmann将上述结果推广到加权射影线的情形,证明了凝聚层范畴的Hall代数的合成子代数同构于相应的Kac-Moody李代数的loop代数的量子包络代数的正部分。在此基础上,窦汝静,江勇和肖杰给出Kac-Moody李代数的量子loop代数的整体实现。Bridgeland利用遗传代数的模范畴上的2循环复形范畴的Hall代数,内蕴地给出了Kac-Moody李代数的量子群的整体实现。最近,卢明和彭联刚把Bridgeland的结果推广到一般的遗传范畴上(不一定存在投射对象)。

本文通过加权射影直线的凝聚层范畴与典范代数的有限生成模范畴之间的导出等价关系,利用凝聚层范畴中的突变函子,给出相应星形图对应的的李代数中的反射变换的范畴化,并且提升到包络代数中的Tits自同构以及量子群中的Lusztig对称子。众所周知,箭图的表示范畴之间的BGP反射函子也给出单反射的范畴化,但是只能局限于源点或者汇点。我们的方法可以克服这一点,不依赖于源点或者汇点。此外,作为一个副产品,我们得到了一些新的根系,这些根系无法在箭图表示范畴中实现。


论文链接:https://doi.org/10.1093/imrn/rny175

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